Question

【題目】如圖（1），等腰梯形，，，，、分別是的兩個(gè)三等分點(diǎn).若把等腰梯形沿虛線、折起，使得點(diǎn)和點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，如圖（2）.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)平幾知識(shí)得，，再根據(jù)線面垂直判定定理得面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論;（Ⅱ）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組以及向量數(shù)量積求各平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（Ⅰ），是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

易知，是正方形，故

又，且

所以面

又面

所以面

（Ⅱ）過(guò)作于，過(guò)作的平行線交于，則面

又所在直線兩兩垂直，以它們?yōu)檩S建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為

則∴

設(shè)平面的法向量為

則∴

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值