Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：；

（2）討論函數(shù)的零點的個數(shù)。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的表達式，求出f′（x），解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到最小值，即可證明；
（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值，進而求出函數(shù)的零點的個數(shù)．

（1）證明：當時，，則.

由.得.

當時，；當時，，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，

所以是的極小值點，也是最小值點.且，

故當時.恒成立.

（2）解：據(jù)題意，得.

①當時，恒成立.則函數(shù)在上是減函數(shù)。

又，所以函數(shù)有且只有一個零點.

②當時.由，得.

當時，；

當時，，

所以在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù).

所以是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，

即.

令，

則，

當時，；

當時，；

當時，，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，

從而是函數(shù)的極大值點.也是最大值點，所以，

即（當且僅當時取等號）

當，即時，函數(shù)只有一個零點

當，即，且時，分和兩種情況討論：

（i）當時，，因為，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點；又，因此有兩個零點.

（ii）當時，；

由（1），得.即，亦即.

令.則得，即，

所以，

所以在區(qū)間內(nèi)有一個等點.

又，

因此函數(shù)有兩個零點.

由（i）和（ii），得當或時，函數(shù)有兩個零點.

綜上，當或時，函數(shù)只有一個零點；

當.且時，函數(shù)有兩個零點。