Question

【題目】如圖，在平行四邊形中， ，分別過(guò)點(diǎn)作直線， 垂直平面，且， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè).以點(diǎn)為原點(diǎn)， 分別為軸，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)證明， ，可得平面.

（II）由（Ⅰ）可求平面的法向量和平面的法向量，即可得二面角的平面角的正弦值.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè).

由可知，平行四邊形為菱形，

∴.則以點(diǎn)為原點(diǎn)， 分別為軸，

過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

那么， ， ， ，

∵， ， ，

易得， ，

∴， ，又，

∴平面.

（II）由（Ⅰ）知， ， ， ， ，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則， ，取，得.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則， ，取，得.

則，

即得二面角的平面角的正弦值為.