Question

已知以第二象限內點P為圓心的圓經過點A（-1，0）和 B（3，4），半徑為2

10

．
（1）求圓P的方程；
（2）設點Q在圓P上，試問使△QAB的面積等于8的點Q共有幾個？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由圓的性質可知，直徑垂直于直線AB且過AB的中點，從而可求直徑所在的直線方程，據此可設P（a，b）再由PA=2

10

代入可求P，進而可求圓的方程
（2）由題意可求AB=2

2

，當△QAB面積為8時，點Q到直線AB的距離為2

2

，結合P到直線的距離及半徑可進行判斷點的個數

解答：解：（1）直線AB的斜率k=1，AB中點坐標為（1，2）
∴圓心在直線x+y-3=0  上                     （3分）
設圓心P（a，b），得：a+b-3=0        ①
又半徑為2

10

，（a+1）²+b²=40 ②（6分）
由①②解得

a=-3 b=6

或 

a=5 b=-2

（舍去）
∴圓心P（-3，6）
∴圓P的方程為（x+3）²+（y-6）²=40  （8分）
（2）AB=

42+42

=4

2

∴當△QAB面積為8時，點Q到直線AB的距離為2

2

  （12分）
又圓心P到直線AB的距離為4

2

，圓P的半徑為2

10

，
且 4

2

+2

2

＞2

10

，2

10

-4

2

＜2

2

∴圓上共有兩個點Q使△QAB的面積為8．（14分）

點評：本題主要考查了利用圓的性質求解圓的方程，點到直線的距離公式的應用，屬于圓的性質的綜合考查．