Question

已知F₁、F₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，第二象限內(nèi)的點(diǎn)P在橢圓上，以P為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)F₁．
（I）若a=3，∠F₁PF₂=60°，求圓P的方程；
（II）若|F₁F₂|=4，且圓P與y軸相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：F₁P⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=90°，因?yàn)椤螰₁PF₂=60°，所以|PF₂|=2|PF₁|．結(jié)合橢圓的定義可得所以|PF₂|=4，|PF₁|=2，所以|F₁F₂|=2

3

．進(jìn)而求出圓的圓心與半徑，解決問題．
（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)題意可得m=-2，進(jìn)而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與圓的半徑，因?yàn)閳AP與y軸相交，所以n=r=

b a2-4

a

＞2．結(jié)合a²-b²=c²=4，可得答案．

解答：解：（I）由題意可得：以P為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)F₁，
所以F₁P⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=90°．
因?yàn)椤螰₁PF₂=60°，
所以|PF₂|=2|PF₁|．
因?yàn)閨PF₂|+|PF₁|=2a=6，
所以|PF₂|=4，|PF₁|=2，
所以|F₁F₂|=2

3

．
所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-

3

，所以其縱坐標(biāo)為2，圓的半徑為2．
所以圓P的方程為）（x+

3

）²+（y-2）²=4．
（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
因?yàn)橐訮為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)F₁，并且|F₁F₂|=4，
所以m=-2．
把m=-2代入橢圓方程可得：n=

b a2-4

a

=r，
因?yàn)閳AP與y軸相交，
所以r=

b a2-4

a

＞2．
又因?yàn)閍²-b²=c²=4，
所以可得a²-2a-4＞0，解得a＞1+

5

或者a＜1-

5

(舍去)．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞1+

5

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓與直線相切時(shí)滿足的條件，并且結(jié)合正確的運(yùn)算．