Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)；
（2）若x∈[1，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若g（x）= ，且當(dāng)x∈[1，2]時(shí)g（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣

∵x1＜x2，∴2x2﹣2x1＞0

又2x1+1＞0，2x2+1＞0，

f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)

（2）解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)，

∴f（x）值域?yàn)?

（3）解：當(dāng)x∈[{1，2}]時(shí)，g（x）∈

∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，

∴ ，∴

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，先在所給區(qū)間上任設(shè)兩個(gè)數(shù)并確定好大小，然后通過(guò)作差法即可獲得自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，由定義即可獲得問(wèn)題的解答；（2）結(jié)合（1）所證明的結(jié)論即可獲得函數(shù)在[1，2]上的單調(diào)性，從而可以求的函數(shù)在[1，2]上的最值，進(jìn)而問(wèn)題即可獲得解答；（3）充分利用前兩問(wèn)答結(jié)論，即可獲得g（x）= 在[1，2]上的最值，結(jié)合恒成立的條件即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)a的不等關(guān)系，求解即可獲得問(wèn)題的解答．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的值域(求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的)，還要掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．