Question

已知點(diǎn)A為雙曲線x²-y²=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是

3

3

．

Answer 1

分析：先求出雙曲線x²-y²=1的左頂點(diǎn)為A（-1，0），根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)出B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）的坐標(biāo)，根據(jù)，△ABC是等邊三角形得：（x₁+1）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，求出x₁和y₁的值，由此得出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以算出面積．

解答：解：雙曲線x²-y²=1的左頂點(diǎn)為A（-1，0），根據(jù)雙曲線的對稱性，
可設(shè)B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）．
由△ABC是等邊三角形⇒AB=BC，得：
（x₁+1）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，
又x₁²-y₁²=1，
∴x₁²-x₁-2=0，∴x₁=-1或x₁=2
右支的特點(diǎn)是x≥0，
所以x₁=2，從而y₁=±

3

，
由此A（-1，0），B（2，

3

），C（2，-

3

），
可以算出面積：S=

3

4

AB 2=

3

4

×[3²+（

3

）²]=3

3

．
故答案為：3

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．