Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．點(diǎn)E在棱PA上，．
（1）求異面直線PA與CD所成的角；
（2）點(diǎn)E在棱PA上，且

PE

=λ

EA

，當(dāng)λ為何值時(shí)，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的條件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)至B-xyz，根據(jù)條件求出

CD

和

PD

，然后求出這兩個(gè)向量的所成角即為異面直線CD與PA所成的角；
（2）要使PC∥平面EBD，只需

PC

垂直于面BDE的一個(gè)法向量，利用向量法可求；
（3）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：解析：由PB⊥底面ABCD得PB⊥AB，PB⊥BC，以

BC

，

BA

，

BP

分別為x，y，
z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2，則B（0，0，0），A（2，0，0），D（2，2，0），
由PB⊥底面ABCD，PB⊥CD，CD⊥PD，PD∩PB=P，CD⊥面PBD，CD⊥BD，所以△CDB為等腰直角三角形，故DB=2

2

，CB=

2

BD=4，
∴C（0，4，0），P（0，0，2），（3分）
（1），

PA

=(2，0，-2)，

CD

=(-2，2，0)，
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

1

2

，故異面直線PA與CD所成的角為60°；                                                                    （7分）
（2）

PE

=λ

EA

，∴

BE

-

BP

=λ(

BA

-

BE

)，∴

BE

=

λ

1+λ

BA

+

1

1+λ

BP

，

BA

=(0，2，0)，

BP

=(0，0，2)，

BE

=(0，

2λ

1+λ

，

2

1+λ

)，

PC

=(4，0，-2)，
設(shè)面BDE的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，

n • BE =0 n • BD =0

∴

2λy 1+λ + 2z 1+λ =0 2x+2y=0

∴

x=-y z=-λy

，
令y=1，

n

=(-1，1，-λ)，
要使PC∥平面EBD，則必須有

PC

⊥

n

，∴-4+2λ=0，λ=2，所以當(dāng)λ=2時(shí)PC∥平面EBD．     （11分）
（3）

BC

⊥面ABE，

n

=(-1，1，-2)，

BC

=(4，0，0)，cos＜

BC

，

n

＞=-

6

6

，
∴二面角A-BE-D的平面角的余弦值為

6

6

．                                        （15分）

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，主要考查直線與平面的位置關(guān)系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題的能力．