Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣kx，x∈R（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若k∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k＞0，討論函數(shù)f（x）在（﹣∞，4]上的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣kx，x∈R，得f'（x）=ex﹣k，

①當(dāng)k≤0時，則f'（x）=ex﹣k＞0對x∈R恒成立，

此時f（x）的單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；

②當(dāng)k＞0時，

由f'（x）=ex﹣k＞0，得到x＞lnk，

由f'（x）=ex﹣k＜0，得到x＜lnk，

所以，k＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lnk，+∞）；遞減區(qū)間是（﹣∞，lnk）；

綜上，當(dāng)k≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）

（2）解：當(dāng)k＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lnk，+∞）；遞減區(qū)間是（﹣∞，lnk），

當(dāng)k＞0時，令f'（x）=ex﹣k=0，

得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上單調(diào)遞減，在（lnk，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在x=lnk時取得極小值，

即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在兩個零點．

（ⅰ）若函數(shù)f（x）在（﹣∞，4]上有2個零點，

則 ，

解得k∈（e， ]；

（ⅱ）若函數(shù)f（x）在（﹣∞，4]上有1個零點，

則f（4）＜0或 ，

解得k∈（ ，+∞）或k=e；

（ⅲ）若函數(shù)f（x）在（﹣∞，4]上沒有零點，

則 或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，

解得k∈（0，e）．

綜上所述，當(dāng)k∈（e， ]時，f（x）在（﹣∞，4]上有2個零點；

當(dāng)k∈（ ，+∞）∪（﹣∞，0）或k=e時，f（x）在（﹣∞，4]上有1個零點；

當(dāng)k∈[0，e）時，f（x）在（﹣∞，4]上無零點．

【解析】（1）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，對k進行分類討論，確定x在不同情況下導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性k＞0時，討論k取不同值時函數(shù)零點個數(shù)，最后綜合討論結(jié)果，可得答案
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．