Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．

　

（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（II）設(shè)AB=AP．

　 （i）若直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；

　 （ii）在線(xiàn)段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說(shuō)明理由

Answer 1

解法一：

（I）因?yàn)?sub>平面ABCD，平面ABCD，

所以，又

所以平面PAD。

又平面PAB，所以平面平面PAD。

（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

A—xyz（如圖）

 

在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點(diǎn)E，則

在中，DE=，

設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）

由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，

（i）設(shè)平面PCD的法向量為，

由，，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，

又，故由直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，得

解得（舍去，因?yàn)锳D），所以

（ii）假設(shè)在線(xiàn)段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，

設(shè)G（0，m，0）（其中）

則，

由得，（2）

由（1）、（2）消去t，化簡(jiǎn)得（3）

由于方程（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，

使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等。

從而，在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，

使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。

解法二：

（I）同解法一。

（II）（i）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz（如圖）

在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于E，

則。

在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點(diǎn)E，則

在中，DE=，

設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t），由AB+AD=4，得AD=4-t，

所以，

設(shè)平面PCD的法向量為，由，，得

 

取，得平面PCD的一個(gè)法向量，

又，故由直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，得

解得（舍去，因?yàn)锳D），所以

（ii）假設(shè)在線(xiàn)段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，

由GC=CD，得，

從而，即

設(shè)，

在中，

這與GB=GD矛盾。

所以在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，

從而，在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。