Question

如果橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意結(jié)合等差中項(xiàng)的定義建立關(guān)于a、b、c的等式，結(jié)合b²=a²-c²消去b得到關(guān)于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此橢圓的離心率．
解答：解：設(shè)橢圓的方程為
∵橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，
∴2×2b=2c+2a，可得b=（a+c）
∵b²=a²-c²，
∴[（a+c）]²=a²-c²，化簡(jiǎn)得5c²+2ac-3a²=0
等式兩邊都除以a²，得5e²+2e-3=0，解之得e=（-1舍去）
即橢圓的離心率為
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，求橢圓的離心率．著重考查了等差中項(xiàng)的概念和橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．