Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．

Answer 1

(1)參考解析；（2）

試題分析：（1）依題意可得遞推一個(gè)等式然后對(duì)減即可得到的通項(xiàng)公式.再檢驗(yàn)n=1時(shí)的情況即可.
（2）由（1）可得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.從而得到的通項(xiàng)公式.求數(shù)列的前n項(xiàng)和在該通項(xiàng)公式中是一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等差數(shù)列相加.所以是分別對(duì)兩個(gè)數(shù)列求和再相加即可.本題（1）是數(shù)列中常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)遞推在求差把含和的等式轉(zhuǎn)化為只有通項(xiàng)的形式.對(duì)于（2）的通項(xiàng)公式是一個(gè)和的形式.所以利用兩種形式要分開(kāi)求.
試題解析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031200412609.png" style="vertical-align:middle;" />，
則  1分
所以當(dāng)時(shí)，，
整理得．由，令，得，解得．
所以是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．              6分
（2）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031200911574.png" style="vertical-align:middle;" />，由，得．
所以
所以．                    12分