Question

已知A={x|x²+x-12=0}，B={x|x²-2ax+b=0}，問是否存在實數(shù)a、b，使A∩B=B，若存在，求出a，b的值或a，b滿足的關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：因為A={x|x²+x-12=0}，求出集合A，B={x|x²-2ax+b=0}，存在實數(shù)a、b，使A∩B=B，說明B=∅，或者B⊆A，利用此信息進(jìn)行求解；

解答：解：∵A={x|x²+x-12=0}，
∴A={3，-4}，B={x|x²-2ax+b=0}，假設(shè)存在實數(shù)a、b，使A∩B=B，
若B=∅，說明方程x²-2ax+b=0無解，可得△=（-2a）²-4b=4a²-4b＜0，
若B≠∅，說明方程x²-2ax+b=0有解，
當(dāng)△=4a²-4b=0①，方程只有一個根，當(dāng)這個根為3，可得3²-6a+b=0②，
聯(lián)立方程①②解得a=3，b=9；
當(dāng)這個根為-4時，可得（-4）²-6a+b=0③，
聯(lián)立①③解得a無實數(shù)解；
當(dāng)△＞0，說明方程有兩個根分別為3和-4，可得

-2a=1 b=-12

，
解得

a=- 1 2 b=-12

，
綜上：存在實數(shù)a、b，使A∩B=B，需要滿足：a=3，b=9；或者a=-

1

2

，b=-12或者a²-b＜0；

點評：此題主要考查函數(shù)的零點問題以及集合交集的定義，此題是一道基礎(chǔ)題，解題的過程中用到了分類討論的思想，這也是高考的熱點問題；