Question

如圖，圓與離心率為的橢圓（）相切于點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)過點(diǎn)引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點(diǎn)、與點(diǎn)、（均不重合）.
(ⅰ)若為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)到兩直線的距離分別為、，求的最大值；
(ⅱ)若，求與的方程.

Answer 1

(Ⅰ)。
(Ⅱ) 的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為。

解析試題分析：(Ⅰ)由題意: 解得   2分
橢圓的方程為                            3分
(Ⅱ)（�。┰O(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d9/4/njyme1.png" style="vertical-align:middle;" />⊥,則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/63/e/12pyx2.png" style="vertical-align:middle;" />
所以            5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/c/6bgti.png" style="vertical-align:middle;" /> 
所以當(dāng)時(shí)取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)        6分
（ⅱ）設(shè)的方程為,由解得
由   解得                    8分
同理可得，                  10分
所以，
，
由得解得        13分
所以的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為             14分
考點(diǎn)：本題主要考橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線橢圓的位置關(guān)系，圓的切線。
點(diǎn)評(píng)：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定得到k的方程，為進(jìn)一步確定直線方程奠定基礎(chǔ)。