Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用單調性的定義證明f（x）在區(qū)間[1，4]是減函數(shù)
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值．

Answer 1

（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴對定義域內的任意的x，都有f（-x）=-f（x），
即，整理得：q+3x=-q+3x
∴q=0
又∵，
∴，解得p=2
∴所求解析式為
（2）由（1）可得=，f（x）在區(qū)間[1，4]上是減函數(shù)．
證明如下：設1≤x₁＜x₂≤4，，
則由于=
因此，當1≤x₁＜x₂≤4時，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＜0
從而得到f（x₁）-f（x₂）＞0即，f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在區(qū)間[1，4]是減函數(shù)．
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值=
分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），代入可得，可求q．，由，可求p，從而可求
（2）由（1）可得=，設1≤x₁＜x₂≤4，=，根據(jù)條件可判斷
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值f（4）
點評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）在求解函數(shù)解析式中的應用，函數(shù)的單調性的定義在證明函數(shù)單調性中的應用，及利用函數(shù)的單調性在求解函數(shù)最值中的應用．