Question

下列不等式一定成立的是（　�。�

• A、x²+

  1

  4

  ＞x
• B、sinx+

  1

  sin x

  ≥2（x∈（0，π））
• C、

  b

  a

  ＜

  b+1

  a+1

  （a＞0，b＞0）
• D、x+

  1

  x-1

  ≥3

Answer 1

分析：A．當(dāng)x=

1

2

時(shí)，x2+

1

4

=x，即可判斷出；
B．由于x∈（0，π），可得sinx∈（0，1]，利用基本不等式可得sinx+

1

sinx

≥2

sinx• 1 sinx

=2．
C．當(dāng)b＞a＞0時(shí)，

b

a

＞

b+1

a+1

，即可判斷出．
D．當(dāng)x＜0時(shí)，左邊＜0，即可判斷出是否成立．

解答：解：A．當(dāng)x=

1

2

時(shí)，x2+

1

4

=x，因此不成立；
B．∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，∴sinx+

1

sinx

≥2

sinx• 1 sinx

=2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1，即x=

π

2

時(shí)取等號(hào)．
C．∵a＞0，b＞0，∴（a+1）b-（b+1）a=b-a，當(dāng)b＞a＞0時(shí)，

b

a

＞

b+1

a+1

，因此不成立．
D．當(dāng)x＜0時(shí)，左邊＜0，因此不成立．
綜上可知：只有D成立．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．