Question

【題目】已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由已知可得：， ，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問(wèn)題得解.

（2）設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)，命題得證.

（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：， ，

，

，

橢圓方程為：

（2）證明：設(shè)，

則直線的方程為：，即：

聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：

，解得：或

將代入直線可得：

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，

直線的方程為：，

整理可得：

整理得：

所以直線過(guò)定點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)．

故直線CD過(guò)定點(diǎn)．