Question

已知函數(shù)f(x)＝.

(1)確定y＝f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)若a>0，函數(shù)h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）在(0，e]上單調(diào)遞增，在[e，＋∞)上單調(diào)遞減．（2）a>－（3）(0，＋∞)

【解析】(1)對(duì)已知函數(shù)f(x)求導(dǎo)得，f′(x)＝.

由1－ln x＝0，得x＝e.

∴當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，

∴函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，在[e，＋∞)上單調(diào)遞減．

(2)由h(x)＝xf(x)－x－ax2，

可得h(x)＝ln x－x－ax2，

則h′(x)＝－1－2ax＝.

h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有極值的充要條件是φ(x)＝－2ax2－x＋1在(0,2)上有零點(diǎn)，

∴φ(0)·φ(2)<0，解得a>－.

綜上所述，a的取值范圍是(0，＋∞)．