Question

【題目】已知拋物線：上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，且，是弦中點(diǎn)，過(guò)作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，得到，再分別過(guò)弦、的中點(diǎn)作平行于軸的直線依次交拋物線于點(diǎn)、，得到和，按此方法繼續(xù)下去，解決下列問(wèn)題：

①求證：；

②計(jì)算的面積；

③根據(jù)的面積的計(jì)算結(jié)果，寫(xiě)出、的面積，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法，并求此封閉圖形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析； ②；③，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和..

【解析】

（1）由拋物線的定義、結(jié)合已知可以直接求出的值，進(jìn)而可以求出拋物線的方程；

（2）①：直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、結(jié)合

，可以證明出；

②：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和三角形面積公式直接求解即可；

③：同②可知：只與有關(guān)，于是可知，分別與、有關(guān)，這樣可以求出它們的面積；這樣無(wú)限操作下去，每次得到的三角形面積都相等，面積是一個(gè)等比數(shù)列，每次得到的三角形的個(gè)數(shù)也是等比數(shù)列，利用無(wú)窮等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，這樣可以求出拋物線與線段所圍成封閉圖形面積.

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線的定義可知：，所以拋物線的方程為：；

（2）①：聯(lián)立直線和拋物線方程得：，

∴，；

∴；

②：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，∴，，，；

③：由同②可知：只與有關(guān)，而，

所以，這樣無(wú)限操作下去，第次操作，得到個(gè)小三角形，每個(gè)三角形的面積為：，這無(wú)窮多個(gè)三角形的面積之和就是拋物線與線段所圍成封閉圖形面積，所以有

所求的面積為.