Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3|x-a|（a＞0），若f（x）在[-1，1]上的最小值記為g（a）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈[-1，1]時，恒有f（x）≤g（a）+4．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求g（a）；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（a），分類討論，求最值，可以證明x∈[-1，1]時，恒有f（x）≤g（a）+4．

解答： （Ⅰ）解：∵a＞0，-1≤x≤1，
①當(dāng)0＜a＜1時，
若x∈[-1，a]，則f（x）=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，故此時函數(shù)在（-1，a）上是減函數(shù)，
若x∈（a，1]，則f（x）=x³+3x-3a，f′（x）=3x²+3＞0，故此時函數(shù)在（a，1）上是增函數(shù)，
∴g（a）=f（a）=a³．
②當(dāng)a≥1，f（x）=x³+3|x-a|=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，故此時函數(shù)在[-1，1]上是減函數(shù)，
則g（a）=f（1）=-2+3a．
綜上：g（a）=

a3 ，0＜a＜1 -2+3a ，a≥1

．
（Ⅱ）證明：設(shè)h（x）=f（x）-g（a），
①當(dāng)0＜a＜1時，g（a）=a³，
若x∈[a，1]，h（x）=x³+3x-3a-a³，h′（x）=3x²+3，
∴h（x）在[a，1]上是增函數(shù)，
∴h（x）在[a，1]上的最大值是h（1）=4-3a-a³，且0＜a＜1，∴h（1）≤4，∴f（x）≤g（a）+4．
若x∈[-1，a]，h（x）=x³-3x+3a-a³，h′（x）=3x²-3，
∴h（x）在[-1，a]上是減函數(shù)，
∴h（x）在[-1，a]上的最大值是h（-1）=2+3a-a³，
令t（a）=2+3a-a³，則t′（a）=3-3a²，∴t（a）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴t（a）＜t（1）=4
∴h（-1）＜4，∴f（x）≤g（a）+4．
③a≥1時，g（a）=-2+3a，∴h（x）=x³-3x+2，∴h′（x）=3x²-3，
∴h（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴h（x）在[-1，1]上的最大值是h（-1）=4，
∴f（x）≤g（a）+4；
綜上，當(dāng)x∈[-1，1]時，恒有f（x）≤g（a）+4．

點評：利用導(dǎo)數(shù)可以解決最值問題，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．