Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；（3）.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出，可得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；（Ⅱ）討論三種情況，分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間； （Ⅲ）對(duì)于任意，都有成立等價(jià)于恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出其最大值，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí)， ， ，

,．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>．

令，即，解得或.

（1）當(dāng)，即時(shí)，

由，得或；

由，得.

所以函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為.

（2）當(dāng)，即時(shí)，

由，得或；

由，得.

所以函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為.

（3）當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，

所以函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間.

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間.

（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)于任意，都有成立，

則，等價(jià)于.

令，則當(dāng)時(shí)， .

.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增.

所以.

所以.

所以.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.