Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng) 時(shí)， ，分類討論：（1） ；（2），可得單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng) 時(shí)，要 證

轉(zhuǎn)化為證 ，設(shè)，判斷其單調(diào)性，得 ，此題得證。

（1）當(dāng)時(shí)，

討論：1’當(dāng)時(shí)， ， ，

此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間

2’當(dāng)時(shí)，令 或

①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)

此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間

②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在和上函數(shù)，

在上函數(shù)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；

單調(diào)遞減區(qū)間為

③當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；

單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）證明：當(dāng)時(shí)

只需證明： 設(shè)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，

令， ，

為上的增函數(shù)，且，

存在唯一的，使得，

在上遞減，在上遞增

不等式得證