Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時，求證： ；

（2）對任意，存在，使成立，求的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)， ）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的最大值，證明結(jié)論即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為, 設(shè)，求導(dǎo)，利用單調(diào)性求范圍即可.

試題解析：

解：（1）當(dāng)時， ，

則，令，得，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，

故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，所以，

所以，得證．

（2）原題即對任意，存在，使成立，

只需，

設(shè)，則，

令，則對于恒成立，

所以為上的增函數(shù)，

于是，即對于恒成立，

所以為上的增函數(shù)，則，

令，則，

當(dāng)時， 為的減函數(shù)，且其值域為，符合題意．

當(dāng)時， ，由得，

由得，則在上為增函數(shù)；由得，則在上為減函數(shù)，所以，從而由，解得，綜上所述， 的取值范圍是．