【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
在
處的切線方程；
（2）若不等式
對(duì)任意的
都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
(1)先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,再求切線方程;
(2) 根據(jù)題意可得
對(duì)任意的
，
都成立，
當(dāng)
時(shí),顯然成立;當(dāng)
時(shí),設(shè)
， 問題即轉(zhuǎn)化為
恒成立,只需要
即可,因?yàn)?/span>
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào))，即滿足
即有
對(duì)
恒成立,構(gòu)造
,通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最小值,即可求得
的取值范圍.
（1）設(shè)
，則
，
當(dāng)
時(shí)，
，
，
∴函數(shù)
在處的切線方程為
，即.
（2）根據(jù)題意可得對(duì)任意的，都成立，
當(dāng)時(shí)，不等式即為
，顯然成立；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則不等式恒成立，
即為不等式恒成立，
∵
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，
∴由題意可得，即有對(duì)恒成立，
令，則
，
令
，即有
，
令
，則
，
當(dāng)時(shí)，
，
在
上單調(diào)遞增，
又
，
有且僅有一個(gè)根，
當(dāng)
時(shí)，
，
單調(diào)遞增，當(dāng)
時(shí)，
，單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，為
，∴
．
∴實(shí)數(shù)的取值范圍
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某次考試，班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本，他們的數(shù)學(xué)物理分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表:
學(xué)生編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù) | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分?jǐn)?shù) | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
繪出散點(diǎn)圖如下:
根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論:
①根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系；
②根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有一次函數(shù)關(guān)系；
③甲同學(xué)數(shù)學(xué)考了80分，那么，他的物理成績(jī)一定比數(shù)學(xué)只考了60分的乙同學(xué)的物理成績(jī)要高.
其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）.
A.0B.3C.2D.1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA＝AB＝2，BC
，E是線段AB的中點(diǎn).
（1）求證：PE⊥CD；
（2）求PC與平面PDE所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，圖2是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)， 一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面四種說法正確的是（ ）
①1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有5個(gè)
②第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了
③8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月
④6月份的空氣質(zhì)量最差
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)
為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系，兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．已知直線
的參數(shù)方程為
，曲線
的極坐標(biāo)方程為
（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程
（2）設(shè)直線與曲線相交于
兩點(diǎn)，
時(shí)，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，
，
，
，
為正三角形.若
，且
與底面
所成角的正切值為
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）
是線段
上一點(diǎn)，記
，是否存在實(shí)數(shù)
，使二面角
的余弦值為
？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，對(duì)于點(diǎn)
，若函數(shù)
滿足：
，都有
，就稱這個(gè)函數(shù)是點(diǎn)A的“限定函數(shù)”.以下函數(shù)：①
，②
，③
，④
，其中是原點(diǎn)O的“限定函數(shù)”的序號(hào)是______.已知點(diǎn)在函數(shù)
的圖象上，若函數(shù)是點(diǎn)A的“限定函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活．網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式，為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而得到表（單位：人）
經(jīng)常網(wǎng)購(gòu) | 偶爾或不用網(wǎng)購(gòu) | 合計(jì) | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合計(jì) |
（1）完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)？
（2）①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率；
②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為
，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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