【題目】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為AB，A1C的中點，且AA1＝
AD．
（1）求直線EF與平面ABCD所成角的大小；
（2）若EF＝
AB，求二面角B－A1C－D的余弦值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）作
平面
，連接
，
即直線
與平面所成的角，求出
和，利用
，然后再利用正切值求出即可；
（2）設(shè)
,則
，利用
，求出
，再建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解二面角的余弦值.
（1）如圖，作平面，所以
,
又點
是
的中點，所以
，
是
的中位線，所以點
是
的中點，
，
連接，則即直線與平面所成的角，
，
所以
，即直線與平面所成的角為；
（2）設(shè),則，
由（1）知，
，
又，所以
，
以點
為原點，以
為
軸、
為
軸、
為
軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)平面
的法向量
，
則
，
，令
，則
，所以
，
設(shè)平面
的法向量
，
則
，
，令
，則
，所以
，
所以向量
和
的夾角即二面角
，
，
即二面角的余弦值為.
新課標(biāo)階梯閱讀訓(xùn)練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在長方形
中，
，
，點
為線段
上一動點，現(xiàn)將
沿
折起，使點
在面
內(nèi)的射影
在直線上，當(dāng)點從運動到
，則點所形成軌跡的長度為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了推廣電子支付，某公交公司推出支付寶和微信掃碼支付乘車優(yōu)惠活動，活動期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，現(xiàn)用
表示活動推出第
天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 6 | 12 | 23 | 34 | 65 | 106 | 195 |
表1
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點圖．
（1）根據(jù)散點圖判斷，在活動期內(nèi)，
與
（
，
均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為掃碼支付的人次
關(guān)于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)建立關(guān)于
的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；
（3）優(yōu)惠活動結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下
支付方式 | 現(xiàn)金 | 乘車卡 | 掃碼 |
比列 | 10% | 54% | 36% |
車隊為緩解周邊居民出行壓力，以90萬元的單價購進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗可知每輛車每個月的運營成本約為0.978萬元．已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有
的概率享受6折優(yōu)惠，有
的概率享受7折優(yōu)惠，有
的概率享受8折優(yōu)惠，有
的概率享受9折優(yōu)惠．預(yù)計該車隊每輛車每個月有1.5萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)這批車需要
年才能開始盈利，求
的值．
參考數(shù)據(jù)：
|
|
|
|
|
63 | 1.55 | 2561 | 50.40 | 3.55 |
其中
，
．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高二學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
年級名次 是否近視 | 1～50 | 951～1000 |
近視 | 41 | 32 |
不近視 | 9 | 18 |
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？
（2）在（1）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左，右焦點分別為
，該橢圓的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
（I）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）如圖，若斜率為
的直線
與
軸，橢圓順次交于
點在橢圓左頂點的左側(cè)）且
，求證：直線過定點；并求出斜率
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的部分圖象如圖所示：
（I）求
的解析式及對稱中心坐標(biāo)；
（Ⅱ）將的圖象向右平移
個單位,再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,最后將圖象向上平移1個單位,得到函數(shù)
的圖象,求函數(shù)
在
上的單調(diào)區(qū)間及最值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，
，點O為AD的中點，
且
.
（1）求證：
平面PAD；
（2）若
，求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，當(dāng)
時，
的取值范圍是
.
（1）求
的值；
（2）若不等式
對
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若函數(shù)
有3個零點，求實數(shù)
的取值范圍.
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