Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

2

2

，點(diǎn)F₂到右準(zhǔn)線為l的距離為

2

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)M，N是l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

F1M

•

F2N

=0，
證明：當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，

F1F2

+

F2M

+

F2N

=

0

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)F₂到右準(zhǔn)線為l的距離求得a和c的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和c，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系氣的b．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中的橢圓方程求得可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，則l的方程可得，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)

F1M

•

F2N

=0求得得y₁y₂的值，代入到|MN|的表達(dá)式中，根據(jù)均值不等式求得|MN|的最小值，根據(jù)等號成立的條件求得y₁和y₂的值，進(jìn)而求得

F1F2

+

F2M

+

F2N

=

0

，證明原式．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="hmzl9gk" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

c

a

，F(xiàn)₂到l的距離d=

a2

c

-c，所以由題設(shè)得

c a = 2 2 a2 c -c= 2

解得c=

2

，a=2
由b²=a²-c²=2，得b=

2

（Ⅱ）由c=

2

，a=2得F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，l的方程為x=2

2

故可設(shè)M(2

2

，y1)，N(2

2

，y2)
由知

F1M

•

F2N

=0知(2

2

+

2

，y1)•(2

2

-

2

，y2)=0
得y₁y₂=-6，所以y1y2≠0，y2=-

6

y1

|MN|=|y1-y2|=|y1+

6

y1

|=|y1|+

1

|y1|

≥2

6

當(dāng)且僅當(dāng)y1=±

6

時(shí)，上式取等號，此時(shí)y₂=-y₁
所以，

F1F2

+

F2M

+

F2N

=(-2

2

，0)+(

2

，y1)+(

2

，y2)=（0，y₁+y₂）=

0

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查橢圓基本量間的關(guān)系，進(jìn)而求橢圓待定常數(shù)，考查向量與橢圓的綜合應(yīng)用；要熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的應(yīng)靈活應(yīng)用．