Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣a，且x=﹣ 是方程f（x）=0的一個(gè)解．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=b在區(qū)間（0， ）上恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ， x3 ， 直接寫出實(shí)數(shù)b的取值范圍及x1+x2+x3的取值范圍（不需要給出解題過程）

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣a，且x=﹣ 是方程f（x）=0的一個(gè)解，

∴f（﹣ ）=0，

即2cos（﹣ ）sin（﹣ + ）﹣a=0，

解得a=sin = ，

∴f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣

=2cosx（ sinx+ cosx）﹣

= sinxcosx+cos2x﹣

= sin2x+ ﹣

= sin2x+ cos2x

=sin（2x+ ）；

∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T= =π

（2）解：令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z；

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[ +kπ， +kπ]，（k∈Z）

（3）解：關(guān)于x的方程f（x）=b在區(qū)間（0， ）上恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，

則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ，1）；

x1+x2+x3的取值范圍是（ ， ）

【解析】（1）根據(jù)f（﹣ ）=0求出a的值，再化簡f（x），求出f（x）的最小正周期；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意，即可得出b與x1+x2+x3的取值范圍．