Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求出，分類討論，當(dāng)和時(shí)，函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在上的最小值；

（2）分離參數(shù)后，得，令，分類討論求解的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍．

（1）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上的最小值為．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為．

（2）由題意可得，當(dāng)時(shí)，有解，即有解．

令，則．

設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞增，

又，所以在上有唯一的零點(diǎn)，即在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為，

又，即，所以，

因?yàn)?/span>在上有解，所以，即．