Question

（2013•閘北區(qū)二模）設(shè)y=f（x）為R上的奇函數(shù)，y=g（x）為R上的偶函數(shù)，且g（x）=f（x+1），g（0）=2．則f（x）=

2sin

π

2

x

．（只需寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)解析式即可）

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）、g（x）的奇偶性可推出f（x）的周期，由f（x）的周期性、奇偶性即可找到滿(mǎn)足條件的一個(gè)函數(shù)．

解答：解：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，
所以f（x+1）=g（x）=g（-x）=f（-x+1）=-f（x-1），
所以f（x+1）=-f（x-1），
令t=x+1，則x=t-1，所以f（t）=-f（t-2）=f（t-4），
所以f（x）是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，同時(shí)為奇函數(shù)，
而f(x)=2sin

π

2

x滿(mǎn)足條件，
故答案為：2sin

π

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性及函數(shù)解析式的求解，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)f（x）的周期．