Question

設(shè)函數(shù)f（x）=m-

1

3x+1

（x∈R）：
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）是否存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
證明：在R上任意設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

3x2+1

-

1

3x1+1

=

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴3x1-3x20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則有f（0）=0，
即f（0）=m-

1

2

=0，
解得m=

1

2

．
此時(shí)f(x)=

1

2

-

1

3x+1

．
∴存在實(shí)數(shù)m=

1

2

使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．