Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，其中

m

=（cosx，

3

sin2x），

n

=（2cosx，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，f（A）=2，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由

m

和

n

的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算法則表示出

m

•

n

，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集可得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由f（A）=2，把x=A代入化簡后的函數(shù)f（x）的解析式中求出的函數(shù)值等于2，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，由a和cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)于b和c的關(guān)系式，與已知b+c的值聯(lián)立可得bc的值，再由bc及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

=（cosx，

3

sin2x），

n

=（2cosx，1），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x，（2分）
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，…（4分）
當2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

（k∈Z），
即kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

（k∈Z）時，f（x）單調(diào)遞增，…（5分）
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

）（k∈Z）；…（6分）
（包含或不包含區(qū)間端點均可，但要前后一致）．
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，0＜A＜π，…（7分）
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，…（9分），又a=

3

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，…（10分）
把b+c=3代入得：bc=2，…（12分）
所以△ABC的面積為S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．…（13分）

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．