Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0）；
（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5：2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線的對(duì)稱軸是x=-2，∵點(diǎn)A，B一定關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴另一個(gè)交點(diǎn)為B（-3，0）．
（2）∵A，B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（-3，0），∴AB=2，
∵對(duì)稱軸為x=-2，∴CD=4；
設(shè)梯形的高是h．
∵S_梯形ABCD=×（2+4）h=9，
∴h=3，即|-t|=3，
∴t=±3，
當(dāng)t=3時(shí)，把（-1，0）代入解析式得到a-4a+3=0，，解得a=1，
當(dāng)t=-3時(shí)，把（-1，0）代入解析式得到a=-1，
∴a=1或a=-1，
∴解析式為y=x²+4x+3或y=-x²-4x-3；
（3）由題意得，E在y=-x上，且在x=-2右側(cè)，與拋物線y=x²+4x+3聯(lián)立可得x²+x+3=0，∴x=-6或x=-
∵E與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，∴E（-，）．
A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B（-3，0），連接B與E交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，
∵BE的方程為，即，
∴x=-2時(shí)，y=，即P（-2，）．
y=-x與y=-x²-4x-3聯(lián)立可得x²+x+3=0，此方程無(wú)解
綜上知，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P（-2，），使△APE的周長(zhǎng)最�。�
分析：（1）求得拋物線的對(duì)稱軸，利用點(diǎn)A，B一定關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得B的坐標(biāo)；
（2）利用以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求得高，可得t的值，（-1，0）代入解析式，可得結(jié)論；
（3）由題意得，E在y=-x上，且在x=-2右側(cè)，分別與拋物線y=x²+4x+3聯(lián)立，確定E的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性，可使△APE的周長(zhǎng)最小，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的對(duì)稱性，考查解析式的求解，考查利用對(duì)稱性解決最值問題，屬于中檔題．