Question

【題目】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率不為零的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為

（1）求橢圓的方程

（2）是否存在直線(xiàn)，使得為等腰直角三角形？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，的周長(zhǎng)為，即，即可解得橢圓的方程；

（2）分別討論將作為等腰直角三角形的斜邊和直角邊（即底邊和腰）的情況，即可得出矛盾.

（1）由題橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以，的周長(zhǎng)為，即，，，

所以橢圓的方程為；

（2）不存在，理由如下：

當(dāng)為底邊時(shí)，，根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)直線(xiàn)垂直于軸，其方程，

此時(shí)，

，

所以不垂直，即為底邊時(shí)等腰頂角不為直角，所以不是等腰直角三角形；

當(dāng)為腰時(shí)，必有，

假設(shè)為等腰直角三角形，不妨設(shè)為直角頂點(diǎn)，設(shè)，

則，在中，由勾股定理，，

即，解得：，此時(shí)，

與矛盾，所以不是等腰直角三角形，

綜上所述，不存在直線(xiàn)，使得為等腰直角三角形