Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C為30°
（1）求AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（2）在平面AA₁B₁B內(nèi)找一點P，使三棱錐P-BB₁C為正三棱錐，并求P到平面BB₁C距離．

Answer 1

分析：（1）由側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB₁C₁C，則有∠AB₁C為AB₁與平面BB₁C₁C所成的角，連接B₁C，則∠AB₁C為AB₁與平面BB₁C₁C所成的角，在Rt△ACB₁中可求得tan∠∠AB₁C．
（2）在AD上取點P，使AP=2PD，則P點為所求，在CD上取點O，使CO=2OD，連PO，則易知三棱錐P-BB₁C為正三棱錐，故可求．

解答：解：（1）由側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB₁C₁C
取BB₁的中點D，AC⊥平面BB₁C₁C
∴AC⊥BB₁
∴BB₁⊥平面ADC
∴AD⊥BB₁
∴∠CDA為二面角A-BB₁-C的平面角，∴∠CDA=30°，
∵CD=

3

，∴AC=1
連接B₁C，則∠AB₁C為AB₁與平面BB₁C₁C所成的角，
在Rt△ACB₁中tan∠AB₁C=

AC

B1C

=

1

2

，
（2）在AD上取點P，使AP=2PD，則P點為所求，
在CD上取點O，使CO=2OD，連PO，，
則PO∥AC，且PO=

1

3

AC，
∵AO⊥平面BB₁C，
∴PO⊥平面BB₁C 且 BB₁C為等邊三角形，
∴三棱錐P-BB₁C為正三棱錐，
且P到平面BB₁C的距離為PO，PO=

1

3

AC=

1

3

點評：本題以斜三棱柱為載體，考查線面角，考查點面距離，屬于基礎(chǔ)題．