Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-A₁E-C余弦值的大小．

Answer 1

分析：（I）BC⊥AC，根據(jù)A₁D⊥底ABC，得到A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，從而B(niǎo)C⊥AC₁，又因BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC₁⊥底A₁BC；
（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁為菱形，從而可得△A₁AE≌△A₁CE．作AF⊥A₁E于F，連CF，則CF⊥A₁E，故∠AFC為二面角A-A₁E-C的平面角，從而可求二面角B-A₁E-C余弦值的大�。�

解答：證明：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，
因?yàn)锳₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，
因?yàn)锳₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，
所以BC⊥AC₁，
因?yàn)锽A₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
所以AC₁⊥底A₁BC
（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁為菱形，
∴∠A₁AC=60°AA₁=AC=A₁C=2，
又CE=EA，故△A₁AE≌△A₁CE．
作AF⊥A₁E于F，連CF，則CF⊥A₁E，
故∠AFC為二面角A-A₁E-C的平面角，
∵A1E=

A1D2+DE2

=2，AF=CF=

AE• AA12-( AE 2 )2

A1E

=

7

4

∴cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

=-

1

7

．
故二面角B-A₁E-C余弦值的大小

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定，以及面面角等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題