Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁C₁C是面積為

3

2

的菱形，∠ACC₁為銳角，側(cè)面ABB₁A₁⊥側(cè)面AA₁C₁C，且A₁B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求證：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證：AA₁⊥BC₁，先說明△AA₁B是等邊三角形，設(shè)D是AA₁的中點(diǎn)、連接BD，C₁D，證明AA₁⊥平面BC₁D，即可．
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABC的體積．轉(zhuǎn)化為B-AA₁C的體積，求出底面面積和高即可求解．

解答：證明（1）：因?yàn)樗倪呅蜛A₁C₁C是菱形，所以有AA₁=A₁C₁=C₁C=CA=1．
從而知△AA₁B是等邊三角形．（2分）
設(shè)D是AA₁的中點(diǎn)、連接BD，C₁D，
則BD⊥AA₁，由S菱形A A1C1C =

3

2

．
知C₁到AA₁的距離為

3

2

．∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等邊三角形，（4分）
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁?平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）
（2）由（1）知BD⊥AA₁，又側(cè)面ABB₁A₁⊥側(cè)面AA₁C₁C，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
即B到平面AA₁C₁C的距離為BD．（9分）
又S△AA1C=

1

2

S菱形AA1C1C□

3

4

，BD=

3

2

．
所以VA1-ABC=VB-AA1C=

1

3

S△AA1C_•BD=

1

3

×

3

4

×

3

2

=

1

8

．（13分）
故三棱錐A₁-ABC的體積為

1

8

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的垂直，棱錐的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．