Question

如圖所示，在正四棱錐S－ABCD中，SA＝AB＝A． (1) SB與底面所成角的大小 (2) 側(cè)面SBC與底面AC所成角的大小 (3) 相鄰兩側(cè)面SCD與SDA所成角的大小 (4) 相對(duì)兩側(cè)面SBC與SDA所成角的大小

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：如圖所示，取棱錐底面中心O，則AC∩BD=O．連結(jié)SO，則SO⊥平面AC，∠SBO為SB與底面AC所成角．在Rt△SBO中，SB=SA=a，BO==a，SO==a，∴∠SBO=．
(2)	取BC中點(diǎn)F，連結(jié)FO、SF，∵△BSC為等邊三角形，∴SF⊥BC． 　　∵SO⊥底面AC，∴FO⊥BC(三垂線定理的逆定理)． 　　∴∠SFO為側(cè)面SBC與底面AC所成角． 　　在Rt△SFO中，OF=，SO=a， 　　∴tan∠SFO==，即側(cè)面SBC與底面AC所成角為arctan．
(3)	過C作CE⊥SD于E，連結(jié)AE． 　　∵正四棱錐S－ABCD側(cè)面是全等的正三角形，∴AE⊥SD且AE=CE，∠AEC為相鄰兩側(cè)面SCD與SDA所成二面角的平面角． 　　在△AEC中，AC=a，AE=CE=a． 　　∴cos∠AFC==－ 　　∴相鄰兩側(cè)面SCD與SDA所成的二面角為(π－arccos)．
(4)	延長FO交AD于G，則G為AD的中點(diǎn)．SG⊥AD，SG=SF=a． 　　平面SBC與平面SDA有公共點(diǎn)S，它們所成二面角的棱l過點(diǎn)S． 　　∵BC∥AD，AD平面SDA，BC￠平面SDA，∴平面SBC∩平面SDA=l，l∥BC． 　　∵SF⊥BC，SG⊥AD，BC∥AD，∴SF⊥l，SG⊥l，∴∠FSG為所求二面角的平面角． 　　在△SFG中，SF=SG=a，F(xiàn)G=a．∴cos∠FSG=＝． 　　∴相對(duì)兩側(cè)面SBC與SAD所成角為arccos． 　　點(diǎn)評(píng)：(1)研究二面角問題，關(guān)鍵是抓平面角．作二面角的平面角常有下列三種方法：①用定義；②作二面角棱的垂面，利用三垂線定理；③利用公式cosθ=()．如何選擇正確方法，則必須根據(jù)題目的條件，做出正確選擇．此題第(2)問用三垂線定理或用公式()則較容易，而第(3)問則利用定義法較容易． 　　(2)如果兩個(gè)面的交線沒有給出，如何找交線的問題也是高考常考內(nèi)容．找交線的方法常用公理2或線面平行的性質(zhì)定理．