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        1. 【題目】動點到直線的距離比它到點的距離大1

          (1)求點的軌跡的方程;

          (2)過定點作直線,與(1)中的軌跡相交于、兩點,為點關(guān)于原點的對稱點,證明:;

          (3)在(2)中,是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在求出的方程;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1);(2)證明見解析;(3)不存在,理由見解析.

          【解析】

          (1)根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可以求出點的軌跡的方程;

          (2)設(shè)出直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,得到一個一元二次方程,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系只要證明直線斜率之和為零即可;

          (3)求出以為直徑的圓的圓心和半徑,利用垂徑定理求出弦長,判斷是不是定值即可.

          (1)因為動點到直線的距離比它到點的距離大1,所以動點到直線的距離等于它到點的距離,由拋物線的定義可知:點的軌跡是以為焦點,原點為頂點的拋物線, 因此,所以點的軌跡的方程是

          ;

          (2)由題意可設(shè)直線的方程為:與拋物線方程聯(lián)立得:

          ,設(shè)、兩點坐標(biāo)為:

          所以有.

          由題意可知:,直線斜率分別記作:

          所以有

          ,

          所以;

          (3) 為直徑的圓的圓心和半徑分別為:,設(shè)直線的方程為,直線與以為直徑的圓相交的弦長為,由圓的垂徑定理可知:

          ,化簡得:顯然不是定值,故不存在直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值.

          練習(xí)冊系列答案
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          (2)對一切, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

          (3)證明:對一切,都有成立.

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          1)求數(shù)列的通項公式;

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          A.B.C.D.

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          3)過雙曲線C上任意一點R作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為M,N,求的值.

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