Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）證明:在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（3）設(shè)，求在上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）證明見(jiàn)解析（3）-1，

【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入導(dǎo)函數(shù)即可求得的值；

（2）將代入導(dǎo)函數(shù)可得，即可分別判斷當(dāng)和時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可證明函數(shù)在各自區(qū)間上的單調(diào)性.

（3）根據(jù)，由不等式性質(zhì)可知。結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性，即可確定最大值；令，求得導(dǎo)函數(shù)，即可由的范圍證明的單調(diào)性，從而求得的最小值.

（1）函數(shù)

則定義域?yàn)?/span>，.

由題設(shè)，

解得.

（2）證明：由（1）可知

代入導(dǎo)函數(shù)解析式可得.

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，.

即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（3）因?yàn)?/span>，由（2）知在上的最大值為.

設(shè)，

.

因?yàn)?/span>，所以，在上單調(diào)遞增.

所以，

故.

所以在上的最小值為.