Question

【題目】設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，且滿足，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，，則，根據(jù)可得再由點(diǎn)在圓上，將代入化簡(jiǎn)即可.

（2）當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)：，與橢圓聯(lián)立方程組可得，由題意，即，①設(shè)，，得到的中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，則有，即，可得，②，將②代入①求解即可.

（1）設(shè)點(diǎn)，，則，

故，，

由可得，

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，

所以，

即曲線的方程為．

（2）當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)：，

聯(lián)立方程組可得，即，

由題意，即，①

設(shè)，，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，

則的中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，即，

化簡(jiǎn)可得，②

將②代入①可得，化簡(jiǎn)可得，

解得，綜上可得的取值范圍是．