Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在CE上．
（1）求證：DE⊥BE；
（2）求四棱錐E-ABCD的體積；
（3）設(shè)點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，且AM=MB，試在線(xiàn)段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BC的平行線(xiàn)DA⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，從而AE⊥BC，再結(jié)合AE⊥BF，利用線(xiàn)面垂直的判定定理得到AE⊥面BEC，從而AE⊥BE，再用一次線(xiàn)面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE；
（2）作EH⊥AB于H，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得EH⊥面ABCD，再在等腰Rt△AEB中結(jié)合已知條件的數(shù)據(jù)，算出EH=

2

，最后用錐體體積公式可求出四棱錐E-ABCD的體積；
（3）設(shè)P是BE的中點(diǎn)，連接MP，F(xiàn)P．利用三角形中位線(xiàn)定理結(jié)合線(xiàn)面平行的判定，得到FP∥平面DAE且MP∥平面DAE，從而平面MPF∥面DAE，由此得到直線(xiàn)MF∥面DAE，可得點(diǎn)N就是點(diǎn)F．

解答：解：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴AE⊥BF…（2分）
∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BEC，
又∵BE?平面BEC，∴AE⊥BE
∵AD⊥BE，AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE，
∵DE?面DAE，∴DE⊥BE…（4分）
（2）作EH⊥AB于H，
∵DA⊥平面ABE，DA?面ABCD，∴面ABCD⊥面ABE，
∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，∴EH⊥面ABCD
∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，
∴等腰Rt△AEB中，EH=

2

…（6分）
因此，VE-ABCD=

1

3

EH•SABCD=

1

3

×

2

×2×2

2

=

8

3

…（8分）
（3）設(shè)P是BE的中點(diǎn)，連接MP，F(xiàn)P
∵BE=BC，BF⊥CE，∴F是EC的中點(diǎn)…（10分）
∵△ECB中，F(xiàn)P是中位線(xiàn)，∴FP∥BC∥DA
∵DA?平面DAE，F(xiàn)P?平面DAE
∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE，
∵AE∩DA=A，∴平面MPF∥面DAE，
因此，直線(xiàn)MF∥面DAE，可得點(diǎn)N就是點(diǎn)F
所以CE的中點(diǎn)N滿(mǎn)足MN∥平面DAE．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊的四棱錐為例，證明了線(xiàn)線(xiàn)垂直和線(xiàn)面平行，并且求了四棱錐的體積，著重考查了空間平行與垂直位置關(guān)系的證明和錐體體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．