Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（Ⅰ）證明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明本題是解決本題的關(guān)鍵，要在平面中尋找與已知直線垂直的兩條相交直線，進(jìn)行線面關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化；
（Ⅱ）利用體積的計(jì)算方法將本題中的體積計(jì)算出來是解決本題的關(guān)鍵，掌握好錐體的體積計(jì)算公式．

解答：解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形，
因?yàn)镼A⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2

2

PD，則PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）設(shè)AB=a，
由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，所以棱錐Q一ABCD的體積v1=

1

3

a3
由（Ⅰ）知PQ為棱錐P-DCQ的高而PQ=

2

a．△DCQ的面積為

2

2

a2．
所以棱錐P-DCQ的體積v2=

1

3

a3
故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1：l．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中線面垂直的判定方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，注意步驟的規(guī)范性，考查學(xué)生對(duì)錐體的體積的計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)，考查學(xué)生的幾何計(jì)算知識(shí)．