Question

已知拋物線C:,定點M(0,5),直線與軸交于點F,O為原點,若以O(shè)M為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點.
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點M作直線交拋物線C于A,B兩點,連AF,BF延長交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動.

Answer 1

（1）拋物線C的方程為；（2）詳見解析．

試題分析：（1）求拋物線C的方程，只需求出的值即可，由已知可知直線與軸的交點為拋物線C的焦點，又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點，設(shè)交點為，則，故，即，解得，從而可得拋物線C的方程；（2）,求證: 拋物線C分別過兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動，找出交點點的坐標(biāo)即可，故需求出過兩點的切線的方程，而與有關(guān)，故可設(shè)出直線AB的方程為（斜率一定存在），再設(shè)出,，利用三點共線可得，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，得過點的切線方程為:，過點的切線方程為:，解出，結(jié)合，得，即得，從而得證。
試題解析：（1）直線與軸的交點為拋物線C的焦點,又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點,,
所以拋物線C的方程為
（2）由題意知直線AB的斜率一定存在,設(shè)直線AB的方程為,
又設(shè),
共線,,
,,同理可求
,過點的切線的斜率為,切線方程為:,
同理得過點的切線方程為:,聯(lián)立得:
由
,即點Q在定直線上運動.