Question

已知向量，把向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋圍θ角得到向量，則下列說法不正確的為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   、在方向上的投影相等

Answer 1

A
分析：如圖，作出以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB，根據(jù)題意可得到四邊形OACB是菱形且不是矩形．然后根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得到A項(xiàng)不正確；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得到B項(xiàng)正確；根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直得到C項(xiàng)正確；根據(jù)菱形的性質(zhì)和向量投影的概念，得到D項(xiàng)正確．由此得到正確答案．
解答：如圖，根據(jù)向量加法的平等四邊形法則，可得
設(shè)OC是以O(shè)A、OB為鄰邊的平等四邊形的對(duì)角線，則有，
又由向量減法的三角形法則，得．
由于向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋圍θ角得到向量，
且角θ∈（0°，90°），所以四邊形OACB是菱形且不是矩形．
接下來說明各項(xiàng)的正誤及其原因：
對(duì)于A，由于四邊形OACB不是矩形，它的對(duì)角線不相等，即，
也就是，故A不正確；
對(duì)于B，在三角形OAC中，有，而向量，因此有，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)樗倪呅蜲ACB是菱形，所以對(duì)角線BA與OC互相垂直，因此有，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，得到在上的投影等于，
在上的投影等于，因?yàn)樗倪呅蜲ACB是菱形，所以O(shè)C是∠AOB的平分線，即cos∠COA=cos∠COB，所以有，
可得、在方向上的投影相等，故D正確．
綜上所述，中只有A項(xiàng)是不正確的．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)向量的旋轉(zhuǎn)得到另一個(gè)向量，來判斷它們和和向量與差向量的位置關(guān)系與大小比較，著重考查了向量加法、減法的法則和向量投影的概念，屬于基礎(chǔ)題．