Question

給出下列四個函數(shù)：
①y=x+

1

x

(x≠0)②y=3^x+3^-x③y=

x2+2

+

1

x2+2

④y=sinx+

1

sinx

，x∈(0，

π

2

)
其中最小值為2的函數(shù)是

②

．

Answer 1

分析：①函數(shù)y=x+

1

x

(x≠0)為奇函數(shù)，只有極小值，無最小值；②根據(jù)3^x＞0，3^-x＞0，可得y=3^x+3^-x≥2，所以函數(shù)由最小值2；③設(shè)

x2+2

=t，，則y=

x2+2

+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上單調(diào)增，所以函數(shù)的最小值為

5

2

；④設(shè)sinx=t，y=t+

1

t

在（0，1）上單調(diào)減，函數(shù)無最小值．故可得答案．

解答：解：①函數(shù)y=x+

1

x

(x≠0)為奇函數(shù)，只有極小值，無最小值；
②∵3^x＞0，3^-x＞0，∴y=3^x+3^-x≥2，∴函數(shù)由最小值2；
③設(shè)

x2+2

=t，∵

x2+2

≥ 2，t≥2，∴y=

x2+2

+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上單調(diào)增，∴函數(shù)的最小值為

5

2

；
④設(shè)sinx=t，∵x∈(0，

π

2

)，∴0＜t＜1，∴y=t+

1

t

在（0，1）上單調(diào)減，∴函數(shù)無最小值．
故答案為：②

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的最值，考查基本不等式的運用，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)注意基本不等式的使用條件．