Question

給出下列四個(gè)函數(shù)：①y=x+sinx；②y=x²-cosx；③y=2^x-2^-x；④y=e^x+lnx，其中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0，1）上單調(diào)的函數(shù)是

①③

．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

分析：由題意，可先由函數(shù)奇偶性的判斷規(guī)則找出四個(gè)函數(shù)的奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則對(duì)是奇函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，找出符號(hào)題意的函數(shù)即可得到答案

解答：解：考察四個(gè)函數(shù)，：①y=x+sinx與；③y=2^x-2^-x；這兩個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，；②y=x²-cosx；是偶函數(shù)，；④y=e^x+lnx的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是非奇非偶函數(shù)
由此可排除②④
對(duì)于函數(shù)①，y′=1+cosx≥0故是單調(diào)函數(shù)，符合題意
對(duì)于函數(shù)；③y=2^x-2^-x，由于函數(shù)2^x是增函數(shù)，函數(shù)2^-x是減函數(shù)，故y=2^x-2^-x是增函數(shù)，
綜上判斷知，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0，1）上單調(diào)的函數(shù)是①③
故答案為①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)奇偶性的判斷方法，函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，有一定的綜合性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷方法，且能根據(jù)題設(shè)條件靈活選用判斷的手段．本題考查了推理誰的能力及觀察判斷的能力，屬于函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合運(yùn)用的常見題型．