Question

將函數(shù)y=

-x2+2x+3

-

3

（x∈[0，2]）的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ（θ為銳角），若所得曲線仍是一個函數(shù)的圖象，則θ的最大值為

60°

．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)．利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則，可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=

-x  +1

-x2+2x+3

，再設(shè)函數(shù)在 x=0 處，函數(shù)圖象的切線斜率為k，則k=f'（0）=

3

3

=tan30°，可得切線的傾斜角為 30°．因此，可得要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，最大旋轉(zhuǎn)角為 90°-30°=60°．

解答：解：設(shè)f（x）=

-x2+2x+3

-

3

，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)．
設(shè)函數(shù)在 x=0 處，切線斜率為k，則k=f'（0）
∵f'（x）=

1

2

•

(-x2 +2x)′

-x2+2x+3

=

-x  +1

-x2+2x+3

，
∴k=f'（0）=

3

3

=tan30°，可得切線的傾斜角為 30°，
因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，
旋轉(zhuǎn)θ后的切線傾斜角最多為 90°，
也就是說，最大旋轉(zhuǎn)角為 90°-30°=60°，即θ的最大值為60°
故答案為：60°

點評：本題給出二次式作為被開方數(shù)的一個函數(shù)，將函數(shù)圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ后，所得曲線仍是一個函數(shù)的圖象，求角θ的最大值，著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象與圖象變化等知識點，屬于中檔題．