Question

（2013•石家莊二模）將函數(shù)y=-x²+x（e∈[0，1]）的圖象繞點M（1，0）順時針旋轉θ角 （0＜θ＜

π

2

）得到曲線C，若曲線C仍是一個函數(shù)的圖象，則角θ的最大值為

π

4

．

Answer 1

分析：確定函數(shù)在x=1處，函數(shù)圖象的切線斜率，可得傾斜角，從而可得角θ的 最大值．

解答：解：由題意，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)在[0，

1

2

]上為增函數(shù)，在[

1

2

，1]上為減函數(shù)．
設函數(shù)在x=1處，切線斜率為k，則k=f'（1）
∵f'（x）=-2x+1，
∴∴k=f'（1）=-1，可得切線的傾斜角為135°，
因此，要使旋轉后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，旋轉θ后的切線傾斜角最多為 90°，也就是說，最大旋轉角為135°-90°=45°，即θ的最大值為45°即

π

4

．
故答案為：

π

4

．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象與圖象變化等知識點，將函數(shù)圖象繞原點逆時針旋轉θ后，所得曲線仍是一個函數(shù)的圖象，求角θ的最大值，屬于中檔題．