Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若圓的任意一條切線與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，試問(wèn)： 是否為定值？ 若是，求這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）定值0.

【解析】試題分析：（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得，而滿足橢圓方程，解方程組可得， ，（2）由向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得，又結(jié)合直線方程可得，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得=0

試題解析：解：(Ⅰ)橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以，故橢圓的方程為．又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，所以，故所求橢圓方程為．

（Ⅱ）①當(dāng)的斜率不存在時(shí)， 的方程或

或

②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程，則滿足： ，

即……………………………………※

又由，

所以

故

，

由※知=0， 綜合①②可知為定值0.