Question

【題目】已知數(shù)列，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，向量，，

．

（1）若，求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（2）若，．

①證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

②設(shè)數(shù)列滿足，問是否存在正整數(shù)，，且，，使得、、成等比數(shù)列，若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②存在，符合題意.

【解析】分析：（1）利用兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系得到，進(jìn)而求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）①由，則，又由，兩式相減即可得到數(shù)列的遞推公式，進(jìn)而得到數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可作出證明.

②中由①得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)的范圍，討論可能的取值，即可得到結(jié)論.

詳解：（1）因?yàn)?/span>，，

得：，當(dāng)，則①

當(dāng)時(shí)，，即

又②

②－①得：，

即，所以，又，

所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列

所以

（2）①證明：因?yàn)?/span>，則③

當(dāng)時(shí)，，即

又④

④－③得：

即：⑤

又⑥

⑥－⑤得：

即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

②又，，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

，所以，

假設(shè)存在正整數(shù)，，且，，使得、、成等比數(shù)列，

即，

可得：

整理得：，即，

由，得，

一一代入檢驗(yàn)或或或或或或或

由，為正整數(shù)，，且，，所以存在，符合題意